每日一题[1633]内外积

设 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \mathbb N^{\ast}$，证明：存在不全为零的数 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \in \{0,1,2\}$，使得 $\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3$ 和 $\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+\lambda_3b_3$ 同时被 $3$ 整除．

解析    设 $\overrightarrow x=(a_1,a_2,a_3)$，$\overrightarrow y=(b_1,b_2,b_3)$，$\overrightarrow n=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\pmod 3$．只需要考虑 $\overrightarrow x$ 和 $\overrightarrow y$ 均不为 $0$ 的情形．

情形一    $\overrightarrow x\times \overrightarrow y\ne \overrightarrow 0$．取 $\overrightarrow n=\overrightarrow x\times \overrightarrow y$，则 $$\overrightarrow n\cdot \overrightarrow x=\overrightarrow n\cdot \overrightarrow y=\overrightarrow 0\pmod 3,$$ 符合题意．

情形二    $\overrightarrow x\times \overrightarrow y= \overrightarrow 0$．此时 $\overrightarrow x$ 与 $\overrightarrow y$ 共线，不妨设 $a_1\ne 0$，则 $(-1,1,1),(0,1,1),(1,1,1)$ 与 $\overrightarrow x$ 的数量积模 $3$ 不同余，必然存在 $\overrightarrow n$ 与 $\overrightarrow x$ 的数量积模 $3$ 余 $0$．而 $\overrightarrow y$ 与 $\overrightarrow x$ 共线，因此 $\overrightarrow n$ 与 $\overrightarrow y$ 的数量积模 $3$ 亦余 $0$，符合题意． 综上所述，原命题得证．