每日一题[1617]寻找突破口

已知正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $a$（$a>3$）如图所示，点 $E,F,G$ 分别在棱 $AB,AC,AD$ 上．则满足 $EF=EG=3$，$FG=2$ 的 $\triangle EFG$ 的个数共有（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$4$

答案    $C$．

解析    设 $AE=x$，$AF=y$，$AG=z$，则

$$\begin{cases} x^2+y^2-xy=9,\\ y^2+z^2-yz=9,\\ z^2+x^2-zx=4,\end{cases}$$ 第一、二个方程相减，可得 $$(x-z)(x+z-y)=0\implies x=z\lor y=x+z.$$

情形一    $x=z$．此时方程组的解为 $(x,y,z)=(2,1+\sqrt 6,2)$．

情形二    $y=x+z$．此时方程组等价于

$$\begin{cases} y=x+z,\\ x^2+z^2=\dfrac{13}2,\\ xz=\dfrac 52,\end{cases}$$ 有两组实数解． 综上所述，符合题意的 $\triangle EFG$ 共有 $3$ 个．