已知正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $a$（$a>3$）如图所示，点 $E,F,G$ 分别在棱 $AB,AC,AD$ 上．则满足 $EF=EG=3$，$FG=2$ 的 $\triangle EFG$ 的个数共有（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
答案 $C$．
解析 设 $AE=x$，$AF=y$，$AG=z$，则\[\begin{cases} x^2+y^2-xy=9,\\ y^2+z^2-yz=9,\\ z^2+x^2-zx=4,\end{cases}\]第一、二个方程相减，可得\[(x-z)(x+z-y)=0\implies x=z\lor y=x+z.\]
情形一 $x=z$．此时方程组的解为 $(x,y,z)=(2,1+\sqrt 6,2)$．
情形二 $y=x+z$．此时方程组等价于\[\begin{cases} y=x+z,\\ x^2+z^2=\dfrac{13}2,\\ xz=\dfrac 52,\end{cases}\]有两组实数解． 综上所述，符合题意的 $\triangle EFG$ 共有 $3$ 个．