每日一题[1609]分划

设集合 $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$，$A=\{(x,y,z) \mid x,y,z \in M\land 9\mid (x^3+y^3+z^3)\}$，则集合 $A$ 中元素的个数是_______．

答案    $243$．

解析    将集合 $M$ 划分为三个集合：

$$\begin{split} M_1&=\{1,4,7,10\},\\ M_2&=\{2,5,8\},\\ M_3&=\{3,6,9\},\end{split}$$ 则 $x,y,z$ 均属于 $M_3$ 或者 $x,y,z$ 分别属于三个不同的集合，所求个数为 $$3^3+\mathop{\rm A}\nolimits_ 3^3\cdot 3\cdot 3\cdot 4=243.$$