每日一题[128] 主元与参数互换

已知$a,b\in\mathcal R$，$a\neq 0$，曲线$y=\dfrac{a+2}x$，$y=ax+2b+1$，若两条曲线在区间$[3,4]$上至少有一个公共点，则$a^2+b^2$的最小值为_______．

正确答案是$\dfrac{1}{100}$．

根据题意，得 $$\exists x\in [3,4],\dfrac{a+2}x=ax+2b+1,$$ 即 $$\exists x\in [3,4],\left(x^2-1\right)\cdot a+2x\cdot b+x-2=0.$$ 将$x$视为参数，则$a^2+b^2$的几何意义是原点$O$到$aOb$坐标平面上的直线 $$\left(x^2-1\right)\cdot a+2x\cdot b+x-2=0$$ 的距离的平方，即 $$\begin{split}a^2+b^2&=\dfrac{(x-2)^2}{\left(x^2-1\right)^2+(2x)^2}\\&=\dfrac{1}{\left(x-2+\dfrac{5}{x-2}+4\right)^2}\\&\geqslant \dfrac{1}{100},\end{split}$$ 等号当且仅当$x=3$时取得，因此所求的最小值为$\dfrac{1}{100}$．