每日一题[128] 主元与参数互换

已知\(a,b\in\mathcal R\)，\(a\neq 0\)，曲线\(y=\dfrac{a+2}x\)，\(y=ax+2b+1\)，若两条曲线在区间\([3,4]\)上至少有一个公共点，则\(a^2+b^2\)的最小值为_______．

正确答案是\(\dfrac{1}{100}\)．

根据题意，得\[\exists x\in [3,4],\dfrac{a+2}x=ax+2b+1,\]即\[\exists x\in [3,4],\left(x^2-1\right)\cdot a+2x\cdot b+x-2=0.\]将\(x\)视为参数，则\(a^2+b^2\)的几何意义是原点\(O\)到\(aOb\)坐标平面上的直线\[\left(x^2-1\right)\cdot a+2x\cdot b+x-2=0\]的距离的平方，即\[\begin{split}a^2+b^2&=\dfrac{(x-2)^2}{\left(x^2-1\right)^2+(2x)^2}\\&=\dfrac{1}{\left(x-2+\dfrac{5}{x-2}+4\right)^2}\\&\geqslant \dfrac{1}{100},\end{split}\]等号当且仅当\(x=3\)时取得，因此所求的最小值为\(\dfrac{1}{100}\)．