每日一题[1582]函数值参数

设函数 $f(x)=ax^2+bx+c$($a \ne 0$)满足 $|f(0)| \leqslant 2$,$|f(2)| \leqslant 2$,$|f(-2)| \leqslant 2$,求当 $x \in [-2,2]$ 时 $y=|f(x)|$ 的最大值.

答案    $\dfrac 52$.

解析    根据题意,有\[\begin{cases} f(0)=c,\\ f(2)=4a+2b+c,\\ f(-2)=4a-2b+c,\end{cases}\iff \begin{cases} a=\dfrac 18((f(-2)-2f(0)+f(2)),\\ b=\dfrac 14(f(2)-f(-2)),\\ c=f(0),\end{cases}\]于是当 $x\in [-2,2]$ 时,有\[\begin{split} |f(x)|&=\left|\dfrac{f(2)+f(-2)-2f(0)}8x^2+\dfrac{f(2)-f(-2)}4x+f(0)\right|\\ &=\left|\dfrac{x^2+2x}4f(2)+\dfrac{x^2-2x}8f(-2)+\dfrac{4-x^2}4f(0)\right|\\ &\leqslant \left|\dfrac{x^2+2x}4\right|+\left|\dfrac{x^2-2x}4\right|+\dfrac{4-x^2}2\\ &=\left|\dfrac{x^2+2x}4-\dfrac{x^2-2x}4\right|+\dfrac{4-x^2}2\\ &=-\dfrac 12\left(|x|-1\right)^2+\dfrac 52 ,\end{split}\]等号当 $f(x)=-\dfrac 12x^2+x+2$ 时可以取得,因此所求最大值为 $\dfrac52$.

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