每日一题[1575]解三角形

已知在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=30^\circ$，$D$ 为 $BC$ 的中点，且 $AD=1$，则（       ）

A．$\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $2-\sqrt 3$

B．$AB+AC$ 的最大值为 $2\sqrt 6-2\sqrt 2$

C．$\triangle ABC$ 周长的最小值为 $4+2\sqrt 6-2\sqrt 3-2\sqrt 2$

D．以上答案都不对

答案    ABC．

解析   设 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，则根据余弦定理和中线长公式，有

$$\begin{cases} \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\sqrt 3}2,\\ 2(b^2+c^2)=a^2+4,\end{cases}\iff \begin{cases} b^2+c^2+\sqrt 3bc=4,\\ a^2=2(b^2+c^2)-4.\end{cases}$$ [[case]]选项 A[[/case]]由第一个等式可得 $$4\geqslant \left(2+\sqrt 3\right)bc\implies \dfrac 14bc\leqslant 2-\sqrt 3,$$ 等号当 $b=c=\sqrt 6-\sqrt 2$ 时取得，因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $2-\sqrt 3$． [[case]]选项 B[[/case]]由第一个等式可得 $$4=(b+c)^2+\left(\sqrt 3-2\right)bc\geqslant (b+c)^2+\left(\sqrt 3-2\right)\cdot \left(\dfrac{b+c}2\right)^2,$$ 于是 $$b+c\leqslant \sqrt{\dfrac{16}{2+\sqrt 3}}=2\sqrt 6-2\sqrt 2.$$ [[case]]选项 C[[/case]] $\triangle ABC$ 的周长 $$m=a+b+c=\sqrt{2(b^2+c^2)-4}+\sqrt{b^2+c^2+\dfrac{2}{\sqrt 3}(4-(b^2+c^2))},$$ 其中 $b^2+c^2\in \left[8(2-\sqrt 3),4\right)$，而 $m$ 关于 $b^2+c^2$ 在 $[8(2-\sqrt 3),4)$ 上单调递增，从而 $m$ 的取值范围是 $\left[4+2\sqrt 6-2\sqrt 3-2\sqrt 2,4\right)$．