每日一题[1570]分类讨论及分离变量

已知关于 $x$ 的方程 $x\ln x-a(x^2-1)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且只有一个实数解，则 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．

解析    

方法一    考虑函数 $f(x)=\ln x-ax+\dfrac ax$，则其导函数

$$f'(x)=\dfrac{-ax^2+x-a}{x^2}.$$

情形一    $a\leqslant 0$．此时 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增，因此只有一个零点 $x=1$，符合题意．

情形二    $0<a<\dfrac 12$．令 $x_1=\dfrac {1-\sqrt{1-4a^2}}{2a}$，$x_2=\dfrac{1+\sqrt{1-4a^2}}{2a}$，由于 $1\in (x_1,x_2)$，结合函数 $f(x)$ 在 $0$ 和 $+\infty$ 处的极限，有

$$\begin{array}{c|ccccccc}\hline x&0&(0,x_1)&x_1&(x_1,x_2)&x_2&(x_2,+\infty)&+\infty \\ \hline f(x)&+\infty&\searrow&-&\nearrow&+&\searrow&-\infty\\ \hline \end{array}$$ 因此函数 $f(x)$ 有 $3$ 个零点，不符合题意．

情形三    $a\geqslant \dfrac 12$．此时 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递减，因此只有一个零点 $x=1$，符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．

方法二    题意即直线 $y=a$ 与函数 $f(x)=\dfrac{x\ln x}{x^2-1}$（$x>0$ 且 $x\ne 1$）的图象没有公共点．函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{x^2-1-(x^2+1)\ln x}{(x^2-1)^2}.$$ 设分子部分为函数 $g(x)$，注意到 $g(1)=0$ 且在 $(0,1)$ 上 $g(x)<0$，在 $(1,+\infty)$ 上 $g(x)>0$．因此函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，结合 $$\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\dfrac{1+\ln x}{2x}=\dfrac 12,$$ 以及 $$\lim_{x\to 0+}f(x)=+\infty,\lim_{x\to +\infty}f(x)=0,$$ 可得实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．