每日一题[1559]多项式的平移

设 $4$ 次整系数多项式 $f(x)$ 满足 $f\big(1+\sqrt[3]{3}\big)=1+\sqrt[3]{3}$，$f\big(1+\sqrt{3}\big)=7+\sqrt{3}$，则 $f(x)=$ _______．

答案      $x^4-3x^3+3x^2-3x$．

解析       设 $g(x)=f(1+x)-(1+x)$，则

$$\begin{cases} g\big(\sqrt[3]3\big)=0,\\ g\big(\sqrt 3\big)=6,\end{cases}$$ 于是 $g(x)=(x^3-6)(ax+b)$（$a,b\in\mathbb Z$）且 $g\big(\sqrt 3\big)=6$，即 $$\left(3\sqrt 3-3\right)\left(a\sqrt 3+b\right)=6\implies (a,b)=(1,1),$$ 因此 $g(x)=(x^3-6)(x+1)$，进而 $$f(x)=g(x-1)+x=((x-1)^3-6)x+x-1=x^4-3x^3+3x^2-3x.$$