每日一题[1556]代数与几何

直线 $ax+by+c=0$ 与圆 $x^2+y^2=9$ 相交于两点 $M,N$，若 $c^2=a^2+b^2$，则 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}$（$O$ 为坐标原点）等于（       ）

A．$-7$

B．$-14$

C．$7$

D．$14$

答案       A．

解法一       设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则

$$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=x_1x_2+y_1y_2 =x_1x_2+\dfrac{(ax_1+c)(ax_2+c)}{b^2},$$ 联立直线与圆的方程，有 $$b^2x^2+(ax+c)^2=9b^2\iff c^2x^2+2acx+c^2-9b^2=0,$$ 于是 $$c^2x^2+2acx+c^2-9b^2=\dfrac{c^2}{a^2}(ax_1-ax)(ax_2-ax),$$ 令 $x=-\dfrac ca$，结合韦达定理，有 $$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\dfrac{c^2-9b^2}{c^2}+\dfrac {a^2}{b^2c^2}\cdot \left(\dfrac{c^4}{a^2}-c^2-b^2\right)=-7.$$

解法二      

根据题意，$O$ 到直线的距离为 $1$，于是根据垂径定理，$\angle MON=2\arccos\dfrac 13$，于是

$$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=|OM|^2\cdot \cos\angle MON=9\cdot \left(2\cdot \left(\dfrac 13\right)^2-1\right)=-7.$$