每日一题[1556]代数与几何

直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=9 相交于两点 M,N,若 c2=a2+b2,则 OMONO 为坐标原点)等于(       )

A.7

B.14

C.7

D.14

答案       A.

解法一       设 M(x1,y1)N(x2,y2),则OMON=x1x2+y1y2=x1x2+(ax1+c)(ax2+c)b2,联立直线与圆的方程,有b2x2+(ax+c)2=9b2c2x2+2acx+c29b2=0,于是c2x2+2acx+c29b2=c2a2(ax1ax)(ax2ax),x=ca,结合韦达定理,有OMON=c29b2c2+a2b2c2(c4a2c2b2)=7.

解法二      

根据题意,O 到直线的距离为 1,于是根据垂径定理,MON=2arccos13,于是OMON=|OM|2cosMON=9(2(13)21)=7.

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