直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=9 相交于两点 M,N,若 c2=a2+b2,则 →OM⋅→ON(O 为坐标原点)等于( )
A.−7
B.−14
C.7
D.14
答案 A.
解法一 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则→OM⋅→ON=x1x2+y1y2=x1x2+(ax1+c)(ax2+c)b2,联立直线与圆的方程,有b2x2+(ax+c)2=9b2⟺c2x2+2acx+c2−9b2=0,于是c2x2+2acx+c2−9b2=c2a2(ax1−ax)(ax2−ax),令 x=−ca,结合韦达定理,有→OM⋅→ON=c2−9b2c2+a2b2c2⋅(c4a2−c2−b2)=−7.
解法二
根据题意,O 到直线的距离为 1,于是根据垂径定理,∠MON=2arccos13,于是→OM⋅→ON=|OM|2⋅cos∠MON=9⋅(2⋅(13)2−1)=−7.