将 2n 个数 1,2,3,⋯,2n 分为两组,每组 n 个数,将第一组从大到小排列为 a1,a2,⋯,an,将第二组从小到大排列为 b1,b2,⋯,bn,然后将两组对应位置的数作差取绝对值,求证:这些绝对值的和为定值.
答案 定值为n2.
解析 建立表格a1a2⋯ak⋯anb1b2⋯bk⋯bn有{ak>ak+1>⋯>an,bk>bk−1>⋯>b1,于是 max 比 a_{k+1},\cdots,a_n 和 b_1,\cdots,b_{k-1},共 n 个数大,因此\begin{split}\sum_{k=1}^n|a_k-b_k|&=\sum_{k=1}^n\max\{a_k,b_k\}-\sum_{k=1}^n\min\{a_k,b_k\}\\ &=((n+1)+(n+2)+\cdots+2n)-(1+2+\cdots+n)\\ &=n^2,\end{split}为定值.