每日一题[1549]幸运大转盘

如图，将同心圆环均匀分成 $n$（$n\geqslant3$）格，在内环中固定数字 $1\thicksim n$．问能否将数字 $1\thicksim n$ 填入外环格内，使得外环旋转任意格后，有且仅有一个格中内外环的数字相同？

答案         当 $n$ 为奇数时存在符合题意的填法．

解析        设对应于内环 $1,2,\cdots,n$ 的外环数字为 $i_1,i_2,\cdots,i_n$，它是数字 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列．对 $k=1,2,\cdots,n$，记外环数字 $i_k$ 在按顺时针方向转动 $j_k$ 格时，和内环数字相同，即

$$i_k-k\equiv j_k\pmod n,k=1,2,\cdots,n.$$ 根据题意，$j_1,j_2,\cdots,j_n$ 应是 $0,1,2,\cdots,n-1$ 的排列．求和 $$\begin{split} \sum_{k=1}^n(i_k-k)&\equiv \sum_{k=1}^nj_k\pmod n\\ &\equiv \sum_{k=1}^n(k-1)\pmod n\\ &\equiv \dfrac{n(n-1)}2\pmod n,\end{split}$$ 于是 $n$ 必须是奇数．

另一方面，对于奇数 $n$，我们取 $i_k=n+1-k$（$k=1,2,\cdots,n$），则

$$i_1-1,i_2-2,\cdots,i_n-n$$ 在模 $n$ 的意义下为 $0,1,2,\cdots,n-1$ 的一个排列，而每次转动 $1$ 格，相应格子中的数之差仍然为 $0,1,2,\cdots,n-1$ 的一个排列，符合题意．

综上所述，当 $n$ 为奇数时存在符合题意的填法．