每日一题[1535]钢珠走钢丝

在边长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 内部有一小球，该小球与正方体的对角线 $AC_1$ 相切，则小球半径的最大值为_______．

答案       $\dfrac{4-\sqrt{6}}{5}$．

解析       如图，延长 $A_1D_1$ 于 $M$，延长 $A_1B_1$ 于 $N$，使得 $D_1,B_1$ 分别平分 $MA_1,NA_1$，连接 $AM,MN,NA$．

根据题意，三棱锥 $A_1-AMN$ 的内切球为符合题意的半径最大的小球，其半径

$$\begin{split} r&=\dfrac{V_{A_1-AMN}}{\dfrac13\left(S_{\triangle A_1MN}+S_{\triangle AA_1M}+S_{\triangle AA_1N}+S_{\triangle AMN}\right)}\\ &=\dfrac{\dfrac 16\cdot A_1A\cdot A_1M\cdot A_1N}{\dfrac 13\left(\dfrac 12\cdot A_1M\cdot A_1N+\dfrac 12\cdot AA_1\cdot A_1M+\dfrac 12\cdot AA_1\cdot A_1N+\dfrac 12\cdot AC_1\cdot MN\right)}\\ &=\dfrac{4-\sqrt 6}5.\end{split}$$