每日一题[1528]垂径定理

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2} {a^2}+\dfrac{y^2} {b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt3} 2$，并且过点 $P(2,-1)$．

1、求$C$ 的方程．

2、设点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，且 $PQ$ 与 $x$ 轴平行，过 $P$ 点作两条直线分别交椭圆 $C$ 于点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．若直线 $PQ$ 平分 $\angle APB$，求证：直线 $AB$ 的斜率是定值，并求出这个定值．

解析

1、离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$ 的椭圆即

$$\dfrac{x^2}{4b^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,$$ 将 $P$ 点坐标代入即得 $b^2=2$，于是椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2} {8}+\dfrac{y^2} {2}=1$．

2、在伸缩变换 $x'=x$，$y'=2y$ 下，椭圆变为圆

$$C':x'^2+y'^2=8,$$ 此时 $P'\left(2,-2\right)$，设直线 $y=-2$（或 $x=2$）与圆交于不同于 $P'$ 的点 $Q'$，则 $Q'\left(-2,-2\right)$（或 $Q'\left(2,2\right)$），且 $Q'$ 在弧 $A'B'$ 上．根据题意，有 $$\angle A'P'Q'=\angle B'P'Q',$$ 于是弧 $A'Q'$ 与弧 $B'Q'$ 相等，也即 $Q'$ 平分弧 $A'B'$，根据垂径定理，有 $OQ'\perp A'B'$，于是直线 $A'B'$ 的斜率为定值 $-1$，进而直线 $EF$ 的斜率为定值 $-\dfrac 12$．