每日一题[1519]旋转体

长为 $\sqrt 2$，宽为 $1$ 的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体体积．

答案       $\dfrac{23\sqrt 3}{72}\pi$．

解析       如图，矩形 $ABCD$ 中，$AB=\sqrt 2$，$BC=1$，$B$ 关于 $AC$ 的对称点为 $B_1$，$AB_1$ 与 $CD$ 相交于点 $P$，$B_1,D,P$ 在 $AC$ 上的投影分别为 $M,R,N$．

记 $\angle ADN=\angle ACD=\theta$，根据对称性，所求旋转体体积

$$\begin{split} V&=2\left(V_{ADN}+V_{CDN}-V_{PRC}\right)\\ &=2\cdot \dfrac 13\pi\cdot \left(AN\cdot DN^2+CN\cdot DN^2-CR\cdot PR^2\right)\\ &=\dfrac{2\pi}3\left(\sin\theta\cdot \cos^2\theta+\sqrt 2\cos\theta\cdot \cos^2\theta-\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \left(\dfrac{\sqrt 3}2\tan\theta\right)^2\right)\\ &=\dfrac{2\pi}3\left(\dfrac{2\sqrt 3}9+\dfrac{4\sqrt 3}9-\dfrac{3\sqrt 3}{16}\right)\\ &=\dfrac{23\sqrt 3}{72}\pi. \end{split}$$