每日一题[1515]斜率积定义

已知双曲线 x24y23=1,设其实轴端点为 A1,A2,点 P 是双曲线上不同于 A1,A2 的一个动点,直线 PA1,PA2 分别与直线 x=1 交于 M1,M2 两点.证明:以线段 M1M2 为直径的圆必经过定点.

答案       定点 (12,0)(52,0)

解析       根据对称性,若线段 M1M2 为直径的圆过定点,则定点必然在 x 轴上.设 M1(1,m1)M2(1,m2)P(x0,y0),直线 PA1,PA2 的斜率分别为 k1,k2,则有{m11+2=k1,m212=k2,{m1=3k1,m2=k2,

M1M2 为直径的圆M:(x1)2+(ym1)(ym2)=0,
其横截距为1+±m1m2=1±3k1k2,
由双曲线的斜率积定义,有 k1k2=34,于是以线段 M1M2 为直径的圆必经过定点 (12,0)(52,0)

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复