已知双曲线 x24−y23=1,设其实轴端点为 A1,A2,点 P 是双曲线上不同于 A1,A2 的一个动点,直线 PA1,PA2 分别与直线 x=1 交于 M1,M2 两点.证明:以线段 M1M2 为直径的圆必经过定点.
答案 定点 (−12,0) 和 (52,0).
解析 根据对称性,若线段 M1M2 为直径的圆过定点,则定点必然在 x 轴上.设 M1(1,m1),M2(1,m2),P(x0,y0),直线 PA1,PA2 的斜率分别为 k1,k2,则有{m11+2=k1,m21−2=k2,⟹{m1=3k1,m2=−k2,
以 M1M2 为直径的圆M:(x−1)2+(y−m1)(y−m2)=0,
其横截距为1+±√−m1m2=1±√3k1k2,
由双曲线的斜率积定义,有 k1k2=34,于是以线段 M1M2 为直径的圆必经过定点 (−12,0) 和 (52,0).