已知 a 为实数,函数 f(x)=xlnx−12ax2−x+a 在其定义域内恰有两个不同的极值点 x1,x2,且 x1<x2.若 λ>0,且 λlnx2−λ>1−lnx1 恒成立,求 λ 的取值范围.
答案 [1,+∞).
解析 函数 f(x) 的导函数f′(x)=lnx−ax,于是 0<a<1e 且1<x1<e<x2,设 t=x2x1,则 t∈(1,+∞),且{lnx1=lntt−1,lnx2=tlntt−1,因此题意即∀t>1,λ⋅tlntt−1−λ>1−lntt−1,也即∀t>1,λ(tlnt−t+1)+lnt−t+1>0,记左侧为 g(t),则其导函数g′(t)=λlnt+1t−1,其二阶导函数g″(t)=λt−1t2,利用 t=1 处的端点分析可得讨论分界点为 λ=1. [[case]]情形一[[/case]] λ⩾.此时在 t\in (1,+\infty) 上,g''(t)>0,进而 g'(t)>g'(1)=0,进而 g(t)>g(1)=0,符合题意. [[case]]情形二[[/case]] 0<\lambda<1.此时在 t\in \left(1,\dfrac{1}{\lambda}\right) 上,g''(t)<0,进而 g'(t)<g'(1)<0,进而 g(t)<g(1)=0,不符合题意. 综上所述,\lambda 的取值范围是 [1,+\infty).