每日一题[1504]参数转化

已知 a 为实数,函数 f(x)=xlnx12ax2x+a 在其定义域内恰有两个不同的极值点 x1,x2,且 x1<x2.若 λ>0,且 λlnx2λ>1lnx1 恒成立,求 λ 的取值范围.

答案      [1,+)

解析      函数 f(x) 的导函数f(x)=lnxax,于是 0<a<1e1<x1<e<x2,t=x2x1,则 t(1,+),且{lnx1=lntt1,lnx2=tlntt1,因此题意即t>1,λtlntt1λ>1lntt1,也即t>1,λ(tlntt+1)+lntt+1>0,记左侧为 g(t),则其导函数g(t)=λlnt+1t1,其二阶导函数g(t)=λt1t2,利用 t=1 处的端点分析可得讨论分界点为 λ=1. [[case]]情形一[[/case]] λ.此时在 t\in (1,+\infty) 上,g''(t)>0,进而 g'(t)>g'(1)=0,进而 g(t)>g(1)=0,符合题意. [[case]]情形二[[/case]] 0<\lambda<1.此时在 t\in \left(1,\dfrac{1}{\lambda}\right) 上,g''(t)<0,进而 g'(t)<g'(1)<0,进而 g(t)<g(1)=0,不符合题意. 综上所述,\lambda 的取值范围是 [1,+\infty)

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