每日一题[1500]直线的参数方程

已知直线 $l:y=kx$ 与圆 $C:x^2+(y-4)^2=4$ 相交于 $M,N$ 两点．

1、求 $k$ 的取值范围．

2、若点 $Q$ 在线段 $MN$ 上，且满足 $\dfrac{2}{|OQ|^2}=\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．

解析

1、根据题意，有

$$\dfrac{4}{\sqrt{1+k^2}}<2\iff k^2>3,$$ 于是 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,-\sqrt 3)\cup (\sqrt 3,+\infty)$．

2、设直线 $MN$ 的参数方程为

$$\begin{cases} x=t,\\ y=kt,\end{cases}$$ 点 $M,N,Q$ 的参数分别为 $t_1,t_2,t_0$，联立直线 $MN$ 与圆的方程，有 $$(k^2+1)t^2-8kt+12=0,$$ 于是 $$t_0^2=\dfrac{2t_1^2t_2^2}{t_1^2+t_2^2}=\dfrac{2t_1t_2}{\dfrac{t_1}{t_2}+\dfrac{t_2}{t_1}}=\dfrac{2\cdot \dfrac{12}{k^2+1}}{\dfrac{64k^2}{12(k^2+1)}-2}=\dfrac{36}{5k^2-3},$$ 于是点 $Q$ 的轨迹方程为 $$x^2=\dfrac{36}{5\cdot \left(\dfrac yx\right)^2-3}\iff 5y^2-3x^2=36,$$ 考虑到点 $Q$ 在圆内且直线 $l$ 斜率存在，于是 $x^2<3$，从而所求轨迹方程为 $$5y^2-3x^2=36,x^2<3,x\ne 0,y>0.$$

备注      若条件改为 $\dfrac{2}{|OQ|}=\dfrac{1}{|OM|}+\dfrac{1}{|ON|}$，则对应 $Q$ 点的轨迹方程为 $y=3$（$x^2<3$）．