已知直线 $l:y=kx$ 与圆 $C:x^2+(y-4)^2=4$ 相交于 $M,N$ 两点．
1、求 $k$ 的取值范围．
2、若点 $Q$ 在线段 $MN$ 上，且满足 $\dfrac{2}{|OQ|^2}=\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．
解析
1、根据题意，有$$\dfrac{4}{\sqrt{1+k^2}}<2\iff k^2>3,$$于是 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,-\sqrt 3)\cup (\sqrt 3,+\infty)$．
2、设直线 $MN$ 的参数方程为\[\begin{cases} x=t,\\ y=kt,\end{cases}\]点 $M,N,Q$ 的参数分别为 $t_1,t_2,t_0$，联立直线 $MN$ 与圆的方程，有\[(k^2+1)t^2-8kt+12=0,\]于是\[t_0^2=\dfrac{2t_1^2t_2^2}{t_1^2+t_2^2}=\dfrac{2t_1t_2}{\dfrac{t_1}{t_2}+\dfrac{t_2}{t_1}}=\dfrac{2\cdot \dfrac{12}{k^2+1}}{\dfrac{64k^2}{12(k^2+1)}-2}=\dfrac{36}{5k^2-3},\]于是点 $Q$ 的轨迹方程为\[x^2=\dfrac{36}{5\cdot \left(\dfrac yx\right)^2-3}\iff 5y^2-3x^2=36,\]考虑到点 $Q$ 在圆内且直线 $l$ 斜率存在，于是 $x^2<3$，从而所求轨迹方程为\[5y^2-3x^2=36,x^2<3,x\ne 0,y>0.\]
备注 若条件改为 $\dfrac{2}{|OQ|}=\dfrac{1}{|OM|}+\dfrac{1}{|ON|}$，则对应 $Q$ 点的轨迹方程为 $y=3$（$x^2<3$）．