每日一题[1499]矩形的性质

1、已知 $P$ 是矩形 $ABCD$ 所在平面上的一点，则有 $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$．试证明该命题．

2、将上述命题推广到 $P$ 为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明．

3、将矩形 $ABCD$ 进一步推广到长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，并利用第 $(2)$ 小题得到的命题建立并证明一个新命题．

解析

1、不妨设 $A(0,0)$，$B(a,0)$，$C(a,b)$，$D(0,b)$，$P(x,y)$，则

$$PA^2+PC^2=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-b)^2=PB^2+PD^2,$$ 命题成立．

2、不妨设 $A(0,0,0)$，$B(a,0,0)$，$C(a,b,0)$，$D(0,b,0)$，$P(x,y,z)$，则

$$PA^2+PC^2=x^2+y^2+z^2+(x-a)^2+(y-b)^2+z^2=PB^2+PD^2,$$ 命题成立．

3、在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$ABCD$ 与 $A_1B_1C_1D_1$ 均为矩形，于是

$$\begin{cases} PA^2+PC^2=PB^2+PD^2,\\ PA_1^2+PC_1^2=PB_1^2+PD_1^2,\end{cases}$$ 于是 $$PA^2+PC^2+PB_1^2+PD_1^2=PB^2+PD^2+PA_1^2+PC_1^2.$$