每日一题[1493]卡位

已知棱长为 $\sqrt3$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 $AC_1$ 为轴，则该圆柱体积的最大值为________．

答案      $\dfrac{\pi}2$．

解析       只需要考虑圆锥的底面与正方体的表面相切的情形．根据图形的对称性可知，圆柱的下底面必与过点 $A$ 的三个面相切，设切点分别为 $E,F,G$，如图．

设

$$\dfrac{AE}{AD_1}=\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AG}{AB_1}=t,$$ 则 $$EF=t\cdot CD_1=\sqrt 6t,$$ 进而 $A$ 到 $EFG$ 的距离 $$d=t\cdot d(A,B_1CD_1)=2t,$$ 因此该圆柱体的体积 $$\begin{split} V&=\pi\cdot \left(\dfrac{\sqrt 3}3 EF\right)^2\cdot (AC_1-2d)\\ &=2\pi t^2(3-4t)\\ &=\dfrac {\pi}2\cdot 2t\cdot 2t\cdot (3-4t)\\ &\leqslant \dfrac {\pi}2,\end{split}$$ 等号当 $t=\dfrac 12$ 时取得．因此所求圆柱体体积的最大值为 $\dfrac{\pi}2$．