每日一题[1469]三角平方差

在锐角三角形 $ABC$ 中，已知 $2\sin^2A+\sin^2B=2\sin^2C$，则 $\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}$ 的最小值为_______．

答案      $\dfrac{\sqrt{13}}2$．

解析      根据三角平方差公式，有 $$\sin^2B=2(\sin^2C-\sin^2A)=2\sin(C+A)\sin(C-A),$$ 于是 $$\sin (C+A)=2\sin (C-A)\iff 3\cos C\sin A=\sin C\cos A\iff \tan A=3\tan C,$$ 进而 $$\tan B=-\tan (A+C)=-\dfrac{\tan A+\tan C}{1-\tan A\tan C}=-\dfrac{4\tan C}{1-3\tan^2C},$$ 从而 $$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}=\dfrac{13}{12\tan C}+\dfrac{3\tan C}{4}\geqslant \dfrac{\sqrt{13}}2,$$ 等号当 $\tan C=\dfrac{\sqrt{13}}3$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt{13}}2$．