每日一题[1468]相遇与行程

已知一段斜坡长度为 aA 在坡顶以速率 v1 向坡底运动,B 在坡底以速率 v2 向坡顶运动.C 的起始位置与 A 相同,下坡的速率为 v3v3>v1),上坡的速率为 v4v4>v2),且 CA,B 之间往复运动(每当遇到 AB 时改变方向).求当 AB 相遇时,C 总共运动的路程.

答案       av1(v3v4)+2v3v4(v1+v2)(v3+v4)

解析       C 第一次往复运动完成(再次与 A 在同一位置)时,A,B 的距离为a(av2+v3+a(v1+v2)av2+v3v1+v4)(v1+v2)=a(v3v1)(v4v2)(v1+v4)(v2+v3),

此时 C 运动的路程为av2+v3v3+a(v1+v2)av2+v3v1+v4v4=av1v3v1v4+2v3v4(v1+v4)(v2+v3),
于是所求路程为av1v3v1v4+2v3v4(v1+v4)(v2+v3)1(v3v1)(v4v2)(v1+v4)(v2+v3)=av1(v3v4)+2v3v4(v1+v2)(v3+v4).

备注      考虑 C 第一次往复运动完成(再次与 A 在同一位置)过程中的平均速度为av1v3v1v4+2v3v4(v1+v4)(v2+v3)av2+v3+a(v1+v2)av2+v3v1+v4=v1v3v1v4+2v3v4v3+v4,

从而 C 总共运动的路程为v1v3v1v4+2v3v4v3+v4av1+v2=av1(v3v4)+2v3v4(v1+v2)(v3+v4).

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