每日一题[1468]相遇与行程

已知一段斜坡长度为 $a$，$A$ 在坡顶以速率 $v_1$ 向坡底运动，$B$ 在坡底以速率 $v_2$ 向坡顶运动．$C$ 的起始位置与 $A$ 相同，下坡的速率为 $v_3$（$v_3>v_1$），上坡的速率为 $v_4$（$v_4>v_2$），且 $C$ 在 $A,B$ 之间往复运动（每当遇到 $A$ 或 $B$ 时改变方向）．求当 $A$ 与 $B$ 相遇时，$C$ 总共运动的路程．

答案       $a\cdot \dfrac{v_1(v_3-v_4)+2v_3v_4}{(v_1+v_2)(v_3+v_4)}$．

解析       $C$ 第一次往复运动完成（再次与 $A$ 在同一位置）时，$A,B$ 的距离为 $$a-\left(\dfrac{a}{v_2+v_3}+\dfrac{a-(v_1+v_2)\cdot \dfrac{a}{v_2+v_3}}{v_1+v_4}\right)\cdot (v_1+v_2)=a\cdot \dfrac{(v_3-v_1)(v_4-v_2)}{(v_1+v_4)(v_2+v_3)},$$ 此时 $C$ 运动的路程为 $$\dfrac{a}{v_2+v_3}\cdot v_3+\dfrac{a-(v_1+v_2)\cdot \dfrac{a}{v_2+v_3}}{v_1+v_4}\cdot v_4=a\cdot \dfrac{v_1v_3-v_1v_4+2v_3v_4}{(v_1+v_4)(v_2+v_3)},$$ 于是所求路程为 $$\dfrac {a\cdot \dfrac{v_1v_3-v_1v_4+2v_3v_4}{(v_1+v_4)(v_2+v_3)}}{1-\dfrac{(v_3-v_1)(v_4-v_2)}{(v_1+v_4)(v_2+v_3)}}=a\cdot\dfrac{v_1(v_3-v_4)+2v_3v_4}{(v_1+v_2)(v_3+v_4)}.$$

备注      考虑 $C$ 第一次往复运动完成（再次与 $A$ 在同一位置）过程中的平均速度为 $$\dfrac{a\cdot \dfrac{v_1v_3-v_1v_4+2v_3v_4}{(v_1+v_4)(v_2+v_3)}}{\dfrac{a}{v_2+v_3}+\dfrac{a-(v_1+v_2)\cdot \dfrac{a}{v_2+v_3}}{v_1+v_4}}=\dfrac{v_1v_3-v_1v_4+2v_3v_4}{v_3+v_4},$$ 从而 $C$ 总共运动的路程为 $$\dfrac{v_1v_3-v_1v_4+2v_3v_4}{v_3+v_4}\cdot \dfrac{a}{v_1+v_2}= a\cdot \dfrac{v_1(v_3-v_4)+2v_3v_4}{(v_1+v_2)(v_3+v_4)}.$$