已知一段斜坡长度为 a,A 在坡顶以速率 v1 向坡底运动,B 在坡底以速率 v2 向坡顶运动.C 的起始位置与 A 相同,下坡的速率为 v3(v3>v1),上坡的速率为 v4(v4>v2),且 C 在 A,B 之间往复运动(每当遇到 A 或 B 时改变方向).求当 A 与 B 相遇时,C 总共运动的路程.
答案 a⋅v1(v3−v4)+2v3v4(v1+v2)(v3+v4).
解析 C 第一次往复运动完成(再次与 A 在同一位置)时,A,B 的距离为a−(av2+v3+a−(v1+v2)⋅av2+v3v1+v4)⋅(v1+v2)=a⋅(v3−v1)(v4−v2)(v1+v4)(v2+v3),
此时 C 运动的路程为av2+v3⋅v3+a−(v1+v2)⋅av2+v3v1+v4⋅v4=a⋅v1v3−v1v4+2v3v4(v1+v4)(v2+v3),
于是所求路程为a⋅v1v3−v1v4+2v3v4(v1+v4)(v2+v3)1−(v3−v1)(v4−v2)(v1+v4)(v2+v3)=a⋅v1(v3−v4)+2v3v4(v1+v2)(v3+v4).
备注 考虑 C 第一次往复运动完成(再次与 A 在同一位置)过程中的平均速度为a⋅v1v3−v1v4+2v3v4(v1+v4)(v2+v3)av2+v3+a−(v1+v2)⋅av2+v3v1+v4=v1v3−v1v4+2v3v4v3+v4,
从而 C 总共运动的路程为v1v3−v1v4+2v3v4v3+v4⋅av1+v2=a⋅v1(v3−v4)+2v3v4(v1+v2)(v3+v4).