一个国际象棋棋盘(由 8×8 个方格组成),其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定).“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成,如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌,则( )
A.至多能剪成 19 块“L”形骨牌
B.至多能剪成 20 块“L”形骨牌
C.一定能剪成 21 块“L”形骨牌
D.前三个答案都不对
答案 C.
解析 可以用数学归纳法证明更一般的结论:对于由 2n×2n 个方格组成的棋盘,其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定),则这个破损的棋盘一定能剪成 4n−13 块“L”形骨牌,即可以用 4n−13 块“L”形骨牌将其覆盖,且无余漏.
如图,将 2n+1×2n+1 的棋盘划分为 4 个 2n×2n 个棋盘,不妨设左上角的 2n×2n 棋盘有破损,则在中心放置对应的“L”形,剩下的 3 个棋盘亦为有破损的 2n×2n 棋盘,根据归纳假设即得.