已知直线过定点 P(1,1),且与抛物线 x2=4y 交于 A,B 两点,l1,l2 分别过 A,B 两点且与抛物线相切.设 l1,l2 交点为 C.
1、求交点 C 的轨迹方程.
2、求三角形 ABC 面积的最小值.
解析
1、设 A(4a,4a2),B(4b,4b2),则AB:y=(a+b)x−4ab,
设 C(x0,y0),则AB:x0x=2(y+y0),
因此 C(2a+2b,4ab),根据题意,有1=a+b−4ab,
于是点 C 的轨迹方程为x−2y−2=0.
2、根据三角形面积坐标公式,有¯S△ABC=12|2a−2b4a2−4ab2b−2a4b2−4ab|=4(a−b)3,
设 m=4a−1,n=4b−1,且 mn=−3.进而三角形 ABC 的面积S=|m−n|316⩾(2√3)316=3√32,
等号当 m=−n=√3 时取得,因此所求最小值为 3√32.