每日一题[1464]面积坐标公式

已知直线过定点 P(1,1),且与抛物线 x2=4y 交于 A,B 两点,l1,l2 分别过 A,B 两点且与抛物线相切.设 l1,l2 交点为 C

1、求交点 C 的轨迹方程.

2、求三角形 ABC 面积的最小值.

解析

1、设 A(4a,4a2)B(4b,4b2),则AB:y=(a+b)x4ab,

C(x0,y0),则AB:x0x=2(y+y0),
因此 C(2a+2b,4ab),根据题意,有1=a+b4ab,
于是点 C 的轨迹方程为x2y2=0.

2、根据三角形面积坐标公式,有¯SABC=12|2a2b4a24ab2b2a4b24ab|=4(ab)3,

m=4a1n=4b1,且 mn=3.进而三角形 ABC 的面积S=|mn|316(23)316=332,
等号当 m=n=3 时取得,因此所求最小值为 332

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