每日一题[1458]收敛圆

已知 $f$ 是直角坐标平面 $xOy$ 到自身的一个映射，点 $P$ 在映射 $f$ 下的象为点 $Q$，记作 $Q=f(P)$．设 $P(x_{1},y_{1})$，$P_{2}=f(P_{1})$，$P_{3}=f(P_{2})$，$\cdots$，$P_{n}=f(P_{n-1})$，$\cdots\cdots$．如果存在一个圆，试所有的点 $P_{n}(x_{n},y_{n})(n\in\mathbb N^{*})$ 都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 $P(x_{n},y_{n})$ 的一个收敛圆．特别地，当 $P_{1}=f(P_{1})$ 时，则称点 $P_{1}$ 为映射 $f$ 下的不动点．

1、点 $P(x,y)$ 在映射 $f$ 下的象为点 $Q(2x,1-y)$． ① 求映射 $f$ 下不动点的坐标； ② 若 $P_{1}$ 的坐标为 $(1,2)$，判断点 $P_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)(n\in\mathbb N^{*})$ 是否存在一个半径为 $3$ 的收敛圆，并说明理由．

2、若点 $P(x,y)$ 在映射 $f$ 下的象为点 $Q\left(\dfrac{x+y}{2}+1,\dfrac{x-y}{2}\right)$，$P_{1}(2,3)$．求证：点 $P_{n}(x_{n},y_{n})(n\in\mathbb N^{*})$ 存在一个半径为 $\sqrt 5$ 的收敛圆．

解析

1、① 由 $$\begin{cases}x=2x,\\ y=1-y,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases}x=0,\\ y=\dfrac{1}{2}.\end{cases}$$ 因此在映射 $f$ 下不动点的坐标为 $\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$． ② 不存在． 考虑 $$P_{n+2}=f\left[f(P_{n})\right]=(4x_{n},y_{n}),$$ 则 $$\left|P_{n}P_{n+2}\right|^{2}=(3x_{n})^{2}+(y_{n})^{2}\geqslant 9x_{n}^{2}=9\cdot 2^{n-1},$$ 当 $n$ 取 $3$ 时， $$\left|P_{3}P_{5}\right|^{2}\geqslant 36 , \left|P_{3}P_{5}\right|\geqslant 6,$$ 说明 $P_{3}$ 和 $P_{5}$ 不可能在一个半径为 $3$ 的圆内．

2、根据题意，有 $$P_{n+2}=f\left[f(P_{n})\right]=\left(\dfrac{1}{2}x_{n}+\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}y_{n}+\dfrac{1}{2}\right).$$ 考虑其不动点 $$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2},\\ y=\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{2},\end{cases}$$ 解得 $\begin{cases}x=3\\ y=1\end{cases}$，此点 $A(3,1)$ 即为收敛圆的圆心． 下面用数学归纳法加以证明：

归纳基础 $P_{1}(2,3)$，因此 $|AP_{1}|=\sqrt 5$； $P_{2}=f(P_{1})=\left(\dfrac{7}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$，因此 $$\begin{split}|AP_{2}|&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}}\\ &=\dfrac{\sqrt{10}}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}<\sqrt 5;\end{split}$$

递推证明 若当 $n=k$ 时，$\left|AP_{n}\right|<\sqrt 5$ 成立． 当 $n=k+2$ 时， $$\begin{split}|AP_{n+2}|&=\sqrt{\left[\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}\right)-3\right]^{2}+\left[\left(\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-1\right]}\\&=\sqrt{\left(\dfrac{x-3}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y-1}{2}\right)^{2}}\\&=\dfrac{1}{2}\left|AP_{n}\right|<\sqrt 5.\end{split}$$ 于是点 $P_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)(n\in\mathbb N^{*})$ 存在一个半径为 $\sqrt 5$ 的收敛圆，其圆心为 $(3,1)$．