每日一题[1456]由小及大

1、已知函数 $f\left(x\right)=\ln x-x+1$，$x\in \left(0,+\infty \right)$，求函数 $f\left(x\right)$ 的最大值．

2、设 $a_k,b_k \left(k=1,2,\cdots,n\right)$ 均为正数，证明： ① 若 $a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\leqslant b_1+b_2+\cdots+b_n$，则 $a^{b_1}_1a^{b_2}_2\cdots a^{b_n}_n\leqslant 1$； ② 若 $b_1+b_2+\cdots+b_n=1$，则 ${\dfrac{1}{n}}\leqslant b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n\leqslant b^2_1+b^2_2+\cdots+b^2_n$．

解析

1、 由题意知，$f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，因为

$$f'(x)=\dfrac 1x -1,$$ 函数在 $x=1$ 处取得极大值，亦为最大值 $f(1)=0$．

2、① 由第 $(1)$ 小题的结果知，当 $x\in \left(0,+\infty \right)$ 时，有

$$f\left(x\right)\leqslant f\left(1\right)=0 ,$$ 即 $$\ln x\leqslant x-1.$$ 因为 $a_k ,b_k>0$，从而有 $$\ln a_k\leqslant a_k-1 ,$$ 得 $$b_k\ln a_k\leqslant a_kb_k-b_k\left(k=1,2,\cdots,n\right) ,$$ 求和得 $$\sum \limits^n _{k=1 }\ln a^{b_k}_k\leqslant \sum\limits^ n_{ k=1} a_kb_k-\sum \limits^ n _{k=1} b_k ,$$ 于是 $$\displaystyle \sum\limits^ n _{k=1} a_kb_k\leqslant \sum \limits ^n _{k=1} b_k \iff \sum\limits^ n _{k=1} \ln a^{b_k}_k\leqslant 0\iff a^{b_1}_1a^{b_2}_2\cdots a^{b_n}_n\leqslant 1.$$ ② 先证明左边不等式．令 $a_k={\dfrac{1}{nb_k}}\left(k=1,2,\cdots,n\right)$，则 $$\sum \limits ^n _{k=1} a_kb_k=\sum\limits^ n _{k=1} {\dfrac{1}{n}}=1=\sum \limits ^n _{k=1} b_k ,$$ 于是由 ① 得 $$\left({\dfrac{1}{nb_1}} \right)^{b_1} \left({\dfrac{1}{nb_2}} \right)^{b_2}\cdots \left({\dfrac{1}{nb_n}} \right)^{b_n}\leqslant 1 ,$$ 即 $${\dfrac{1}{b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n}}\leqslant n^{b_1+b_2+\ldots +b_n}=n,$$ 所以 $$b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n\geqslant {\dfrac{1}{n}} .$$ 再证明右边不等式．记 $\displaystyle S=\sum\limits ^ n _{k=1} b^2_k$，令 $a_k={\dfrac{b_k}{S}}\left(k=1,2,\cdots,n\right)$，则 $$\sum \limits ^n_{ k=1 }a_kb_k={\dfrac{1}{S}}\sum\limits ^ n _{k=1 }b^2_k=1=\sum \limits^{ n }_{k=1 }b_k ,$$ 于是由 ① 得 $$\left({\dfrac{b_1}{S}}\right) ^{b_1 }\left({\dfrac{b_2}{S}}\right) ^{b_2}\cdots \left({\dfrac{b_n}{S}}\right) ^{b_n}\leqslant 1,$$ 即 $$b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n\leqslant S^{b_1+b_2+\cdots+b_n}=S ,$$ 所以 $$b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n\leqslant b^2_1+b^2_2+\cdots+b^2_n .$$ 综上所述，命题得证．