每日一题[1454]极差

定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值与最小值的差为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的极差，记作 $d(a,b)$． ① 若 $f(x)=x^2-2x+2$，则 $d(1,2)=$_______； ② 若 $f(x)=x+\dfrac{m}{x}$，且 $d(1,2)\ne \left|f(2)-f(1)\right|$，则实数 $m$ 的取值范围是_______．

答案 ①$1$；②$(1,4)$．

解析 ① 因为 $f(x)=x^2-2x+2$ 在区间 $[1,2]$ 上单调递增，所以

$$d(1,2)=f(2)-f(1)=1.$$

② 根据题意，函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 上不单调，于是

$$1<\sqrt m<2,$$ 解得 $$1<m<4.$$