每日一题[1446]换底公式

如图，圆 $O$ 为直角三角形 $ABC$ 的内切圆，已知 $AC=3$，$BC=4$，$\angle C$ 为直角，过圆心 $O$ 的直线 $l$ 交圆于 $P,Q$ 两点，则 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 的取值范围是_______．

答案 $[-7,1]$．

解析 根据题意，$\triangle ABC$ 的内切圆半径为 $1$．应用向量的换底公式，有 $$\begin{split} \overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}&=\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}\right)\cdot \left(\overrightarrow {OQ}-\overrightarrow{OC}\right)\\ &=\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}\right)\cdot \left(-\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}\right)\\ &=-\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OP}\cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}\\ &=-3+\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{CB},\end{split}$$ 于是所求数量积的取值范围是 $[-7,1]$．