每日一题[1442]三倍角公式

解方程：$8x^3-6x-1=0$．

答案 $\cos\dfrac{\pi}9,-\dfrac{2\pi}9,-\dfrac{4\pi}9$．

解析 令 $f(x)=8x^3-6x-1$，则其导函数

$$f'(x)=6(2x+1)(2x-1),$$ 进而 $$\begin{array} {c|ccccc}\hline x&\left(-\infty,-\dfrac 12\right)&-\dfrac 12&\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,+\infty\right)\\ \hline f(x)&\nearrow&1&\searrow&-3&\nearrow\\ \hline \end{array}$$ 结合 $$f(-1)=-3,f(1)=1,$$ 于是 $f(x)$ 有三个零点，均在 $(-1,1)$ 内．令 $x=\cos\theta$（$\theta\in (0,2\pi)$），则 $$8\cos^3\theta-6\cos\theta-1=0\iff \cos 3\theta=\dfrac 12,$$ 于是 $$\theta=\dfrac{\pi}9,\dfrac{7\pi}9,\dfrac{13\pi}9,$$ 从而原方程的解为 $\cos\dfrac{\pi}9,-\cos\dfrac{2\pi}9,-\cos\dfrac{4\pi}9$．