每日一题[1440]左右逢源

已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足对任意的 $x\in[-1,1]$，有 $|f(x)|\leqslant 1$，求证：对任意 $x\in[-1,1]$，有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$．

解析 根据题意，有 $$\begin{cases} f(-1)=a-b+c,\\ f(0)=c,\\ f(1)=a+b+c,\end{cases}$$ 于是 $$\begin{cases} a=\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)+f(0),\\ b=\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1),\\ c=f(0),\end{cases}$$ 因此 $$\begin{split} |cx^2+bx+a|-|ax^2+bx+c|&\leqslant |(c-a)(x^2-1)|\\ &=\left|\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)\right| \cdot |x^2-1|\\ &\leqslant 1,\end{split}$$ 因此 $$|cx^2+bx+a|\leqslant |ax^2+bx+c|+1\leqslant 2,$$ 原命题得证．