每日一题[1421]累次求最值

已知 $a,b,c>0$，且 $a+3b+c=9$，则 $a+b^2+c^3$ 的最小值为_______．

答案    $\dfrac{243-8\sqrt 3}{36}$．

解析    根据题意，有

$$\begin{split}a+b^{2}+c^{3}&=9-3b-c+b^{2}+c^{3}\\&=9+\left(b-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+c(c^{2}-1)-\dfrac{9}{4}\\&\geqslant \dfrac{27}{4}-c(1-c^2),\end{split}$$ 所以欲使原式取得最小值，则需要 $c^2<1$，而此时 $$\begin{split}c(1-c^{2})&=\sqrt{\dfrac{2c^{2}(1-c^{2})(1-c^{2})}{2}}\\ &\leqslant \sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{2c^{2}+(1-c^{2})+(1-c^{2})}{3}\right)^{3}}{2}}\\ &=\dfrac{2\sqrt 3}{9},\end{split}$$ 故 $$a^{2}+b^{2}+c^{3}\geqslant \dfrac{27}{4}-\dfrac{2\sqrt 3}{9},$$ 等号在 $b=\dfrac{3}{2}$，$c=\dfrac{\sqrt 3}{3}$，$a=\dfrac{9}{2}-\dfrac{\sqrt 3}{3}$ 时取到，因此所求最小值为 $\dfrac{243-8\sqrt 3}{36}$．