每日一题[120] 先猜后证

设函数\(f(x)=2ax^2+bx-3a+1\)满足对于任意\(x\in [-4,4]\)，\(f(x)\geqslant 0\)恒成立，则\(5a+b\)的最小值是_______．

正确答案是\(-\dfrac 13\)．

将\(f(x)\)改写为\[f(x)=\left(2x^2-3\right)a+x\cdot b+1,\]令\[\dfrac{2x^2-3}{x}=\dfrac 51,\]解得\[x=-\dfrac 12\lor x=3,\]代入可得\[\begin{split}-\dfrac 12\left(5a+b\right)+1&\geqslant 0,\\3\left(5a+b\right)+1&\geqslant 0,\end{split}\]从而可得\[-\dfrac 13\leqslant 5a+b\leqslant 2.\]

另一方面，当\(a=\dfrac 1{21}\land b=-\dfrac 47\)时，有\[f(x)=\dfrac 2{21}\left(x-3\right)^2\geqslant 0,\]因此\(5a+b\)可以取得\(-\dfrac 13\)．

综上所述，\(5a+b\)的最小值为\(-\dfrac 13\)．

有道可怜的北大自主招生题又要被拿出来留作游（lian）街（xi）了：

已知\(\forall x\in\mathcal R,a\cos{2x}+b\cos x\geqslant -1\)，求\(a+b\)的最大值．