每日一题[120] 先猜后证

设函数$f(x)=2ax^2+bx-3a+1$满足对于任意$x\in [-4,4]$，$f(x)\geqslant 0$恒成立，则$5a+b$的最小值是_______．

正确答案是$-\dfrac 13$．

将$f(x)$改写为 $$f(x)=\left(2x^2-3\right)a+x\cdot b+1,$$ 令 $$\dfrac{2x^2-3}{x}=\dfrac 51,$$ 解得 $$x=-\dfrac 12\lor x=3,$$ 代入可得 $$\begin{split}-\dfrac 12\left(5a+b\right)+1&\geqslant 0,\\3\left(5a+b\right)+1&\geqslant 0,\end{split}$$ 从而可得 $$-\dfrac 13\leqslant 5a+b\leqslant 2.$$

另一方面，当$a=\dfrac 1{21}\land b=-\dfrac 47$时，有 $$f(x)=\dfrac 2{21}\left(x-3\right)^2\geqslant 0,$$ 因此$5a+b$可以取得$-\dfrac 13$．

综上所述，$5a+b$的最小值为$-\dfrac 13$．

有道可怜的北大自主招生题又要被拿出来留作游（lian）街（xi）了：

已知$\forall x\in\mathcal R,a\cos{2x}+b\cos x\geqslant -1$，求$a+b$的最大值．