每日一题[121] 三角形的欧拉线

2015年重庆市三诊题10:

设\(H\)、\(P\)是三角形\(ABC\)所在平面上异于\(A\)、\(B\)、\(C\)的两点,用\(\overrightarrow a\)、\(\overrightarrow b\)、\(\overrightarrow c\)、\(\overrightarrow h\)分别表示向量\(\overrightarrow{PA}\)、\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)、\(\overrightarrow{PH}\).已知\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow h,\]且\(\left|\overrightarrow{AH}\right|=1\),\(\left|\overrightarrow{BH}\right|=\sqrt 2\),\(\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt 3\).点\(O\)为三角形\(ABC\)外接圆的圆心,则三角形\(AOB\)、三角形\(BOC\)、三角形\(AOC\)的面积之比是(        )

A.\(1:\sqrt 2:\sqrt 3\)

B.\(2:\sqrt 3:1\)

C.\(1:\sqrt 3:2\)

D.\(\sqrt 2:1:\sqrt 3\)


cover正确的答案是 C.

根据题意,有\[\left(\overrightarrow a-\overrightarrow  c\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow h\right)=0,\]即\[BH\perp AC,\]不难推得\(H\)为三角形\(ABC\)的垂心.

QQ20150518-1

取\(BC\)的中点\(M\).根据欧拉线的性质有\(AH=2OM\),于是不难得到\[A=\angle BOM=\dfrac{\pi}{3},\]进而由垂心的性质,有\[\angle BHF=A=\dfrac{\pi}{3},\]从而\[FH=\dfrac 12BH=\dfrac{\sqrt 2}2,\]这样我们得到了\[A=\dfrac{\pi}{3},B=\dfrac{\pi}{4},C=\dfrac{5\pi}{12},\]进而三角形\(AOB\),三角形\(BOC\),三角形\(AOC\)面积之比为\[\sin 2C:\sin 2A:\sin 2B=1:\sqrt 3:2.\]

    计算三个三角形面积之比时用到了“奔驰定理”.

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