每日一题[1411]抛物线的“蒙日圆”

已知 $y^2=4ax$ 的两条切线相交成 $\theta$ 角（ $\theta$ 为常数），求角的顶点的轨迹方程．

答案 $x^2\sin^2\theta+2a(1+\cos^2\theta)x-y^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta=0$ ．

解析设角的顶点为 $P(x_0,y_0)$ ，切点为 $A(at^2,2at)$ ， $B(as^2,2as)$ ，代入切点弦 $AB$ 的方程

y_{0} y = 2 a (x_{0} + x),

$y_0y=2a(x_0+x),$ 于是

t, s

$t,s$ 是关于

u

$u$ 的一元二次方程

a u^{2} - y_{u} + x_{0} = 0

$au^2-y_u+x_0=0$ 的两根．由韦达定理有

t + s = \frac{y_{0}}{a}, t s = \frac{x_{0}}{a},

$t+s=\dfrac{y_0}a,ts=\dfrac{x_0}a,$ 切线

P A

$PA$ 的方程为

2 a t y = 2 a (a t^{2} + x),

$2aty=2a(at^2+x),$ 即

x - t y + a t^{2} = 0,

$x-ty+at^2=0,$ 于是切线

P A

$PA$ 的法向量为

\vec{α} = (1, - t)

$\overrightarrow \alpha=(1,-t)$ ，类似的，切线

P B

$PB$ 的法向量为

\vec{β} = (1, - s)

$\overrightarrow \beta=(1,-s)$ ，根据题意，有

| \vec{α} \cdot \vec{β} | = | \vec{α} | \cdot | \vec{β} | \cdot \cos θ,

(1 + t s)^{2} = (1 + t^{2}) (1 + s^{2}) \cos^{2} θ,

$(1+ts)^2=(1+t^2)(1+s^2)\cos^2\theta,$ 即

x^{2} \sin^{2} θ + 2 a (1 + \cos^{2} θ) x - y^{2} \cos^{2} θ + a^{2} \sin^{2} θ = 0.

$x^2\sin^2\theta+2a(1+\cos^2\theta)x-y^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta=0.$

此条目发表在每日一题分类目录。将固定链接加入收藏夹。