每日一题[121] 三角形的欧拉线

2015年重庆市三诊题10：

设$H$、$P$是三角形$ABC$所在平面上异于$A$、$B$、$C$的两点，用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$、$\overrightarrow h$分别表示向量$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$、$\overrightarrow{PC}$、$\overrightarrow{PH}$．已知

$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow h,$$ 且$\left|\overrightarrow{AH}\right|=1$，$\left|\overrightarrow{BH}\right|=\sqrt 2$，$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt 3$．点$O$为三角形$ABC$外接圆的圆心，则三角形$AOB$、三角形$BOC$、三角形$AOC$的面积之比是（        ）

A．$1:\sqrt 2:\sqrt 3$

B．$2:\sqrt 3:1$

C．$1:\sqrt 3:2$

D．$\sqrt 2:1:\sqrt 3$

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正确的答案是 C．

根据题意，有

$$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow  c\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow h\right)=0,$$ 即 $$BH\perp AC,$$ 不难推得$H$为三角形$ABC$的垂心．

取$BC$的中点$M$．根据欧拉线的性质有$AH=2OM$，于是不难得到

$$A=\angle BOM=\dfrac{\pi}{3},$$ 进而由垂心的性质，有 $$\angle BHF=A=\dfrac{\pi}{3},$$ 从而 $$FH=\dfrac 12BH=\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 这样我们得到了 $$A=\dfrac{\pi}{3},B=\dfrac{\pi}{4},C=\dfrac{5\pi}{12},$$ 进而三角形$AOB$，三角形$BOC$，三角形$AOC$面积之比为 $$\sin 2C:\sin 2A:\sin 2B=1:\sqrt 3:2.$$

注    计算三个三角形面积之比时用到了“奔驰定理”．