每日一题[1398]佛剑分说

已知 $a,b,c>0$，且 $ab+bc+ca=1$，求证：$\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}\leqslant \dfrac{16}3$．

解法一    根据三角形中的三角恒等式，对 $\triangle ABC$，有 $$\sum_{\rm cyc}\tan\dfrac A2\tan\dfrac B2=1,$$ 设 $a=\tan\dfrac A2$，$b=\tan\dfrac B2$，$c=\tan\dfrac C2$，其中 $A+B+C=\pi$，$A,B,C>0$，则 $$\begin{split} LHS&=2\cos^2\dfrac A2+2\cos^2\dfrac B2+3\cos^2\dfrac C2\\ &=5+\cos A+\cos B-3\sin^2\dfrac C2\\ &=5+2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2-3\sin^2\dfrac C2\\ &\leqslant 5+2\sin\dfrac C2-3\sin^2\dfrac C2\\ &\leqslant 5+\dfrac{-2^2}{-12}=\dfrac{16}3=RHS,\end{split}$$ 因此不等式得证，且等号取得的条件是 $A=B$ 且 $\sin\dfrac C2=\dfrac 13$，也即 $$(a,b,c)=\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}4\right).$$

解法二    题中不等式即 $$\dfrac{2}{(a+b)(c+a)}+\dfrac{2}{(b+c)(a+b)}+\dfrac{3}{(b+c)(c+a)}\leqslant \dfrac{16}{3},$$ 也即 $$6(b+c)+6(c+a)+9(a+b)\leqslant 16(a+b)(b+c)(c+a),$$ 也即 $$16abc\leqslant (a+b+4c)(ab+bc+ca),$$ 也即 $$(a^2b+4bc^2)+(ab^2+4c^2a)+(b^2c+a^2c)\geqslant 10abc,$$ 根据均值不等式，该不等式成立，等号取得的条件是 $$a:b:c=2:2:1,$$ 也即 $$(a,b,c)=\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}4\right).$$