每日一题[1393]无需放缩

求证：$x\ln x+2<\dfrac{{\rm e}^x}{x}$．

证明    欲证不等式即

$$\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\ln x-\dfrac 2x>0,$$ 记左侧函数为 $f(x)$，则 $$f'(x)=\dfrac{\left({\rm e}^x-x\right)(x-2)}{x^3},$$ 于是 $$\begin{array} {c|ccc}\hline x&(0,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline f(x)&\searrow&\dfrac 14{\rm e}^2-\ln 2-1&\nearrow \\ \hline \end{array}$$ 于是问题转化为证明 $$\dfrac 14{\rm e}^2-\ln 2-1>0.$$ 又 $$4+4\ln 2<4+4\cdot \dfrac 12\left(2-\dfrac 12\right)=7<{\rm e}^2,$$ 于是命题得证．