已知 $a,b,c\geqslant 0$ 且 $a^2+b^2+c^2=1$，求证：\[1\leqslant \dfrac a{1+bc}+\dfrac b{1+ca}+\dfrac c{1+ab}\leqslant \sqrt 2.\]
证明
左边不等式 根据均值不等式，有\[\dfrac a{1+bc}\geqslant \dfrac a{1+\dfrac{b^2+c^2}2}=\dfrac{2a}{3-a^2},\]而\[\dfrac {2a}{3-a^2}\geqslant a^2\iff a(a-1)^2(a+2)\geqslant 0,\]于是\[\sum_{\rm cyc}\dfrac a{1+bc}\geqslant \sum_{\rm cyc}a^2=1,\]于是命题得证．等号取得的条件是 $(a,b,c)$ 为 $(1,0,0)$ 或其轮换．
右边不等式 不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则\[\dfrac a{1+bc}+\dfrac b{1+ca}+\dfrac c{1+ab}\leqslant \dfrac{a+b+c}{1+ab},\]于是\[\dfrac{a+b+c}{1+ab}\leqslant \sqrt 2\iff \sqrt 2(1+ab)-(a+b)\geqslant \sqrt{1-(a^2+b^2)},\]也即\[\left(\sqrt 2+\sqrt 2ab-a-b\right)^2-\left(1-a^2-b^2\right)\geqslant 0,\]也即\[2(1+ab)^2-2\sqrt 2(1+ab)(a+b)+(a+b)^2+a^2+b^2-1\geqslant 0,\]也即\[(1+ab)^2-2\sqrt 2(1+ab)(a+b)+2(a+b)^2+a^2b^2\geqslant 0,\]也即\[\left((1+ab)-\sqrt 2(a+b)\right)^2+a^2b^2\geqslant 0,\]于是命题得证．等号取得的条件为 $(a,b,c)$ 是 $\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 及其轮换．