每日一题[1388]从取等条件出发

已知 $a,b,c\geqslant 0$ 且 $a^2+b^2+c^2=1$，求证： $$1\leqslant \dfrac a{1+bc}+\dfrac b{1+ca}+\dfrac c{1+ab}\leqslant \sqrt 2.$$

证明    

左边不等式    根据均值不等式，有 $$\dfrac a{1+bc}\geqslant \dfrac a{1+\dfrac{b^2+c^2}2}=\dfrac{2a}{3-a^2},$$ 而 $$\dfrac {2a}{3-a^2}\geqslant a^2\iff a(a-1)^2(a+2)\geqslant 0,$$ 于是 $$\sum_{\rm cyc}\dfrac a{1+bc}\geqslant \sum_{\rm cyc}a^2=1,$$ 于是命题得证．等号取得的条件是 $(a,b,c)$ 为 $(1,0,0)$ 或其轮换．

右边不等式    不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则 $$\dfrac a{1+bc}+\dfrac b{1+ca}+\dfrac c{1+ab}\leqslant \dfrac{a+b+c}{1+ab},$$ 于是 $$\dfrac{a+b+c}{1+ab}\leqslant \sqrt 2\iff \sqrt 2(1+ab)-(a+b)\geqslant \sqrt{1-(a^2+b^2)},$$ 也即 $$\left(\sqrt 2+\sqrt 2ab-a-b\right)^2-\left(1-a^2-b^2\right)\geqslant 0,$$ 也即 $$2(1+ab)^2-2\sqrt 2(1+ab)(a+b)+(a+b)^2+a^2+b^2-1\geqslant 0,$$ 也即 $$(1+ab)^2-2\sqrt 2(1+ab)(a+b)+2(a+b)^2+a^2b^2\geqslant 0,$$ 也即 $$\left((1+ab)-\sqrt 2(a+b)\right)^2+a^2b^2\geqslant 0,$$ 于是命题得证．等号取得的条件为 $(a,b,c)$ 是 $\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 及其轮换．