每日一题[1387]点线距离

函数 $f(t,\alpha)=\dfrac{\left|\left(\cos\alpha+\sqrt 2\sin\alpha\right)t-\sqrt 2\right|}{\sqrt{t^2-2\sqrt 2t\cos\alpha+2}}$，其中 $t\in\mathbb R$，$\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 的最大值是（       ）

A．$\sqrt 2$

B．$\sqrt 3$

C．$2$

D．$\sqrt 5$

答案    B．

解析    根据题意，有

$$f(t,\alpha)=\dfrac{\left|\left(t\cos\alpha-\sqrt 2\right)+\sqrt 2\cdot t\sin\alpha\right|}{\sqrt{\left(t\cos\alpha-\sqrt 2\right)^2+(t\sin\alpha)^2}},$$ 于是其几何意义为点 $P\left(1,\sqrt 2\right)$ 到直线 $$l:\left(t\cos\alpha-\sqrt 2\right)\cdot x+t\sin\alpha\cdot y=0$$ 的距离，注意到直线 $l$ 恒过原点 $O(0,0)$，于是 $f(t,\alpha)$ 的最大值为 $$|OP|=\sqrt 3,$$ 当直线 $l\perp OP$，也即 $\left(t\cos\alpha-\sqrt 2,t\sin\alpha\right)$ 与 $\left(1,\sqrt 2\right)$ 同向时取得．