每日一题[1383]整体代换

已知 $x\in\mathbb R$，解方程 $\sqrt{2x^2+x+5}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x^2-3x+13}$．

解析    根据题意，设

$$\begin{cases} A=2x^2+x+5,\\ B=x^2+x+1,\\ C=x^2-3x+13,\end{cases}$$ 则 $$C=4A-7B,$$ 于是方程即 $$\sqrt A+\sqrt B=\sqrt{4A-7B},$$ 也即 $$3A-8B=2\sqrt{AB},$$ 也即 $$9A^2-52AB+64B^2=0,$$ 也即 $$(A-4B)(9A-16B)=0,$$ 也即 $$2x^2+3x-1=0\lor 2x^2-7x+29=0,$$ 解得 $$x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}4.$$