每日一题[1360]染立方

从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色．将一个正方体的六面体染色，每面洽染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同颜色，则不同的染色方案有_______种．（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．）

答案    $230$．

解析    按相对的面颜色相同的组数分类讨论．

情形一    $0$ 组．此时六个面是不同的颜色，将下面固定为某种颜色，则其对面有 $5$ 种染色方案，其余 $4$ 面有 $(4-1)!=6$ 种染色方案（注意圆排列），共 $30$ 种染色方案

情形二    $1$ 组．此时设上下两面为同色，有 $6$ 种染色方案，其余 $4$ 面有 ${\rm C}_5^4(4-1)!=30$ 种染色方案．考虑到上下可以对调，因此其余四面互逆的染色方案相同，因此共有 $90$ 种染色方案．

情形三    $2$ 组．让这 $2$ 组对面构成除上下面的 $4$ 个面，有 ${\rm C}_6^2=15$ 种染色方案．此时上下底面有 ${\rm C}_4^2=6$ 种染色方案，因此共有 $90$ 染色方案．

情形四    $3$ 组．此时有 ${\rm C}_6^3=20$ 种染色方案．

因此所有的染色方案数为

$$30+90+90+20=230.$$