每日一题[1352]必要条件探路

已知对任意的 $x\in\mathbb R$，$3a(\sin x+\cos x)+2b\sin 2x\leqslant 3$（$a,b\in\mathbb R$）恒成立，则当 $a+b$ 取得最小值时，$a$ 的值是_______．

答案    $-\dfrac 45$．

解析    题意即 $$\forall t\in \left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right],3at+2b(t^2-1)\leqslant 3,$$ 令 $$3t=2(t^2-1),$$ 即 $$t=-\dfrac 12,$$ 可得 $$-\dfrac 32(a+b)\leqslant 3,$$ 于是得到实数 $a,b$ 需要满足的必要条件 $$a+b\geqslant -2.$$ 接下来证明 $a+b$ 的最小值为 $-2$，也即 $a+b$ 可以取得 $-2$．令 $a=-2-b$，则 $$3at+2b(t^2-1)-3=2bt^2-(3b+6)t-2b-3,$$ 对应的判别式 $$\Delta=(3b+6)^2+8b(2b+3)=(5b+6)^2,$$ 于是取 $b=-\dfrac 65$，$a=-\dfrac 45$，则符合题意． 综上所述，当 $a+b$ 取得最小值时，$a=-\dfrac 45$．