每日一题[1345]运动的轨迹

矩形 $ABCD$ 中，$AB=2\sqrt 3$，$BC=6$，$E,F$ 分别是 $AD,BC$ 上的动点，$CF=2AE$，连接 $EF$，以 $EF$ 为边构造等边三角形 $EFG$，则 $DG$ 的最小值为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt{21}}7$．

解析    连接 $AC$ 交 $EF$ 于 $H$，连接 $GH,DH$，如图．

由于 $CF=2AE$，于是 $CH=2EH$，因此 $H$ 为 $AC$ 上的定点．注意到 $\angle EHG$ 为定值 $\theta$，于是 $G$ 点的轨迹是直线 $AD$ 绕 $H$ 顺时针旋转 $\theta$，再以 $H$ 为中心，$\dfrac{HG}{HE}$ 为比例位似得到的直线 $l$．解 $\triangle EHG$ 可得

$$\theta=\pi -\arcsin\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt 7},\dfrac{HG}{HE}=\sqrt 7,$$ 于是 $DH$ 与直线 $l$ 的夹角为 $$\pi-\theta-\angle HDA=\arcsin\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt 7}-\arctan\dfrac{\sqrt 3}6,$$ 因此 $DG$ 的最小值即 $D$ 到直线 $l$ 的距离，为 $$DH\cdot \sin\left(\arcsin\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt 7}-\arctan\dfrac{\sqrt 3}6\right)-\dfrac{2\sqrt 3}3\cdot \sqrt 7=\dfrac{\sqrt{21}}7.$$