每日一题[1342]化角为边

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$2ab\sin A+(ac-6)\sin 2B=2b^2\sin A\cos C$，$b=2$，则 $\triangle ABC$ 的外接圆面积的最小值为_______．

答案    $\pi$．

解析    根据题意，有

$$2ab\sin A+2(ac-6)\sin B\cos B=2b^2\sin A\cos C,$$ 由正弦定理和余弦定理可得 $$2ab\cdot a+2(ac-6)\cdot b\cdot \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=2b^2\cdot a\cdot \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab},$$ 整理得 $$2b(ac-3)(a^2+c^2-b^2)=0,$$ 结合 $b=2$，可得 $$ac=3\lor a^2+c^2=4.$$ 若 $ac=3$，则 $$\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\geqslant \dfrac{2ac-b^2}{2ac}=\dfrac 13,$$ 于是 $$\sin^2B\leqslant \dfrac 89.$$ 若 $a^2+c^2=4$，则 $$\sin^2B=1,$$ 因此 $\triangle ABC$ 的外接圆面积 $$\left(\dfrac{b}{2\sin B}\right)^2\pi=\dfrac{\pi}{\sin^2B}\geqslant \pi,$$ 等号当 $\sin B=1$ 时取得，如取 $$(a,b,c)=\left(\sqrt 2,2,\sqrt 2\right),$$ 因此所求最小值为 $\pi$．