每日一题[1341]转移阵地

如图，等边三角形 $ABC$ 的边长为 $2$，顶点 $B,C$ 分别在 $x$ 轴的非负半轴，$y$ 轴的非负半轴上移动，$M$ 为 $AB$ 的中点，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac 52+\sqrt 7$．

解析    如图，$N$ 为 $BC$ 中点，连接 $NO,NA,NM$．

根据题意，有

$$\begin{split} \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OM}&=\left(\overrightarrow {ON}+\overrightarrow{NA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NM}\right)\\ &=ON^2+\overrightarrow{ON}\cdot \left(\overrightarrow {NA}+\overrightarrow {NM}\right)+\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{NM}\\ &=1+\overrightarrow{ON}\cdot \left(\overrightarrow {NA}+\overrightarrow {NM}\right)+\dfrac 32\\ &\leqslant \dfrac 52+ON\cdot \sqrt{NA^2+NM^2-2\cdot NA\cdot NM\cdot \cos 150^\circ}\\ &=\dfrac 52+\sqrt 7,\end{split}$$ 等号当 $\overrightarrow{ON}$ 与 $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NM}$ 同向时取得．因此所求最大值为 $\dfrac 52+\sqrt 7$．