每日一题[1325]内切圆代换

在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三边长，证明：

$$a^2\left(\dfrac bc-1\right)+b^2\left(\dfrac ca-1\right)+c^2\left(\dfrac ab-1\right)\geqslant 0.$$

解析    原不等式即

$$\sum_{cyc}a^3b(b-c)\geqslant 0,$$ 设 $a=y+z$，$b=z+x$，$c=x+y$，其中 $x,y,z>0$，则原不等式即 $$\sum_{cyc}(y+z)^3(z+x)(z-y)\geqslant 0,$$ 也即 $$\sum_{cyc}\left(x^5+xy^4-2x^3y^2\right)\geqslant 0,$$ 由均值不等式即得，因此原不等式得证．