每日一题[1305]不定方程

已知正整数 x,y 满足 x+y+12xyx+y1x2+y21,求所有的正整数对 (x,y)

答案    (x,y)=(k,k+1),(k+1,k),kN

解析    注意到x2+y21=(x+y+1)(x+y1)2xy,于是{x+y+12xy,x+y12xy.

情形一    x+y1x+y+1 是相邻的奇数,于是(x+y+1,x+y1)=1,因此xy(x+y+1)(x+y1),x2+y2+xy10,无解.

情形二    x+y1x+y+1 是相邻的偶数,于是(x+y+12,x+y12)=1,因此xyx+y+12x+y12,进而(xy)21,因此(x,y)=(k,k+1),(k+1,k),kN.

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