已知正整数 x,y 满足 x+y+1∣2xy,x+y−1∣x2+y2−1,求所有的正整数对 (x,y).
答案 (x,y)=(k,k+1),(k+1,k),k∈N∗.
解析 注意到x2+y2−1=(x+y+1)(x+y−1)−2xy,于是{x+y+1∣2xy,x+y−1∣2xy.
情形一 x+y−1 和 x+y+1 是相邻的奇数,于是(x+y+1,x+y−1)=1,因此xy⩾(x+y+1)(x+y−1),即x2+y2+xy−1⩽0,无解.
情形二 x+y−1 和 x+y+1 是相邻的偶数,于是(x+y+12,x+y−12)=1,因此xy⩾x+y+12⋅x+y−12,进而(x−y)2⩽1,因此(x,y)=(k,k+1),(k+1,k),k∈N∗.