每日一题[1305]不定方程

已知正整数 $x,y$ 满足 $x+y+1\mid 2xy$，$x+y-1\mid x^2+y^2-1$，求所有的正整数对 $(x,y)$．

答案    $(x,y)=(k,k+1),(k+1,k),k\in\mathbb N^{\ast}$．

解析    注意到

$$x^2+y^2-1=(x+y+1)(x+y-1)-2xy,$$ 于是 $$\begin{cases} x+y+1\mid 2xy,\\ x+y-1\mid 2xy.\end{cases}$$

情形一    $x+y-1$ 和 $x+y+1$ 是相邻的奇数，于是

$$\left(x+y+1,x+y-1\right)=1,$$ 因此 $$xy\geqslant (x+y+1)(x+y-1),$$ 即 $$x^2+y^2+xy-1\leqslant 0,$$ 无解．

情形二    $x+y-1$ 和 $x+y+1$ 是相邻的偶数，于是

$$\left(\dfrac{x+y+1}2,\dfrac{x+y-1}2\right)=1,$$ 因此 $$xy\geqslant \dfrac{x+y+1}2\cdot \dfrac{x+y-1}{2},$$ 进而 $$(x-y)^2\leqslant 1,$$ 因此 $$(x,y)=(k,k+1),(k+1,k),k\in\mathbb N^{\ast}.$$