每日一题[1295]局部等差数列

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $a_{n}=a_{n-1}+a_{\left[\frac n2\right]}$（$n\geqslant 2$），求证：数列 $\{a_n\}$ 中有无穷多个 $7$ 的倍数．

解析    先计算数列的前几项： $$\begin{array}{c|cccccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline a_n&1&2&3&5&7&10&13&18&23&30\\ \hline \end{array}$$ 因此数列 $\{a_n\}$ 中有 $7$ 的倍数．假设数列 $\{a_n\}$ 中 $7$ 的倍数是有限个，则必然存在最后一个 $7$ 的倍数，设为 $a_m$．根据题意，有 $$a_{2m}-a_{2m-1}=a_{2m+1}-a_{2m}=a_m,$$ 于是 $$a_{2m-1}\equiv a_{2m}\equiv a_{2m+1}\pmod 7.$$

情形一    $7\mid a_{2m}$，则与 $a_m$ 是最后一个 $7$ 的倍数矛盾．

情形二    $a_{2m-1}\equiv p\pmod 7$ 且 $p\ne 0$．注意到数列 $\{a_n\}$ 为 $$1,1+a_1,1+a_1+a_1,1+a_1+a_1+a_2,1+a_1+a_1+a_2+a_2,\cdots,$$ 也即 $$a_{2k+1}=1+a_1+a_1+a_2+a_2+\cdots+a_k+a_k,$$ 当 $k=2m-2$ 时，有 $$a_{4m-3}=1+a_1+a_1+a_2+a_2+\cdots+a_{2m-2}+a_{2m-2},$$ 此时 $$\begin{split} a_{4m-2}&=a_{4m-3}+a_{2m-1},\\ a_{4m-1}&=a_{4m-2}+a_{2m-1},\\ a_{4m}&=a_{4m-1}+a_{2m},\\ a_{4m+1}&=a_{4m}+a_{2m},\\ a_{4m+2}&=a_{4m+1}+a_{2m+1},\\ a_{4m+3}&=a_{4m+1}+a_{2m+1},\end{split}$$ 于是 $$a_{4m-3},a_{4m-2},\cdots,a_{4m+3}$$ 是模 $7$ 的一个完全剩余系，其中必然存在 $7$ 的倍数，与 $a_m$ 是最后一个 $7$ 的倍数矛盾． 综上所述，命题得证．