每日一题[1289]代数变形

已知 $x,y,z\in\mathbb C$，解方程组

$$\begin{cases} x+y+z=3,\\ x^2+y^2+z^2=3,\\ x^5+y^5+z^5=3.\end{cases}$$

答案    $(1,1,1)$．

解析    根据题意，有

$$xy+yz+zx=\dfrac {(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=3,$$ 又 $$\begin{split} 240&=(x+y+z)^5-(x^5+y^5+z^5)\\ &=5(x+y)(y+z)(z+x)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)\\ &=30(3-x)(3-y)(3-z),\end{split}$$ 于是 $$27-9(x+y+z)+3(xy+yz+zx)-xyz=8,$$ 因此 $$xyz=1,$$ 从而 $$\begin{cases} x+y+z=3,\\ xy+yz+zx=3,\\ xyz=1,\end{cases}$$ 这就意味着 $x,y,z$ 是关于 $t$ 的方程 $$t^3-3t^2+3t-1=0$$ 的三个根，即 $$x=y=z=1.$$