设正整数 a,b 满足 a2+b2ab+1=k∈N,求证:k 是某个正整数的平方.
解析 该不定方程即a2−bk⋅a+b2−k=0.
情形一 a=b.此时k=(2−k)a2,于是a=b=k=1,符合题意.
情形二 a≠b.此时假设 (a0,b0) 是符合题意的使得 a+b 最小的解且 a0>b0.根据韦达定理,关于 a 的方程a2−b0k⋅a+b20−k=0,的另一根 a1 满足{a1+a0=b0k,a1⋅a0=b20−k,显然 a1>0,否则a21−b0k⋅a1+b20−k=a21+(−b0a1−1)k+b20>0,矛盾.因此 (a1,b0) 也是符合题意的一组解,而a1=b20−ka0<a20−1a0<a0,与假设不符. 综上所述,k 是某个正整数的平方.