每日一题[1282]无穷递降

设正整数 a,b 满足 a2+b2ab+1=kN,求证:k 是某个正整数的平方.

解析    该不定方程即a2bka+b2k=0.

情形一    a=b.此时k=(2k)a2,于是a=b=k=1,符合题意.

情形二    ab.此时假设 (a0,b0) 是符合题意的使得 a+b 最小的解且 a0>b0.根据韦达定理,关于 a 的方程a2b0ka+b20k=0,的另一根 a1 满足{a1+a0=b0k,a1a0=b20k,显然 a1>0,否则a21b0ka1+b20k=a21+(b0a11)k+b20>0,矛盾.因此 (a1,b0) 也是符合题意的一组解,而a1=b20ka0<a201a0<a0,与假设不符. 综上所述,k 是某个正整数的平方.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复