每日一题[1282]无穷递降

设正整数 $a,b$ 满足 $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=k\in\mathbb N$，求证：$k$ 是某个正整数的平方．

解析    该不定方程即

$$a^2-bk\cdot a+b^2-k=0.$$

情形一    $a=b$．此时

$$k=(2-k)a^2,$$ 于是 $$a=b=k=1,$$ 符合题意．

情形二    $a\ne b$．此时假设 $(a_0,b_0)$ 是符合题意的使得 $a+b$ 最小的解且 $a_0>b_0$．根据韦达定理，关于 $a$ 的方程

$$a^2-b_0k\cdot a+b_0^2-k=0,$$ 的另一根 $a_1$ 满足 $$\begin{cases} a_1+a_0=b_0k,\\ a_1\cdot a_0=b_0^2-k,\end{cases}$$ 显然 $a_1>0$，否则 $$a_1^2-b_0k\cdot a_1+b_0^2-k=a_1^2+(-b_0a_1-1)k+b_0^2>0,$$ 矛盾．因此 $(a_1,b_0)$ 也是符合题意的一组解，而 $$a_1=\dfrac{b_0^2-k}{a_0}<\dfrac{a_0^2-1}{a_0}<a_0,$$ 与假设不符． 综上所述，$k$ 是某个正整数的平方．