设正整数 $a,b$ 满足 $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=k\in\mathbb N$，求证：$k$ 是某个正整数的平方．
解析 该不定方程即\[a^2-bk\cdot a+b^2-k=0.\]
情形一 $a=b$．此时\[k=(2-k)a^2,\]于是\[a=b=k=1,\]符合题意．
情形二 $a\ne b$．此时假设 $(a_0,b_0)$ 是符合题意的使得 $a+b$ 最小的解且 $a_0>b_0$．根据韦达定理，关于 $a$ 的方程\[a^2-b_0k\cdot a+b_0^2-k=0,\]的另一根 $a_1$ 满足\[\begin{cases} a_1+a_0=b_0k,\\ a_1\cdot a_0=b_0^2-k,\end{cases}\]显然 $a_1>0$，否则\[a_1^2-b_0k\cdot a_1+b_0^2-k=a_1^2+(-b_0a_1-1)k+b_0^2>0,\]矛盾．因此 $(a_1,b_0)$ 也是符合题意的一组解，而\[a_1=\dfrac{b_0^2-k}{a_0}<\dfrac{a_0^2-1}{a_0}<a_0,\]与假设不符． 综上所述，$k$ 是某个正整数的平方．