每日一题[1267]模拟图象

若函数 $f(x)=mx+\dfrac{\sin x}{{\rm e}^x}$ 在 $(0,2\pi)$ 上有一个极大值和一个极小值，则实数 $m$ 的取值范围是（       ）

A．$\left[-{\rm e}^{-2\pi},{\rm e}^{-\frac{\pi}2}\right)$

B．$\left(-{\rm e}^{-\pi},{\rm e}^{-2\pi}\right]$

C．$\left(-{\rm e}^{\pi},{\rm e}^{-\frac{5\pi}2}\right)$

D．$\left(-{\rm e}^{-3\pi},{\rm e}^{\pi}\right]$

答案    A．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=m+\dfrac{\cos x-\sin x}{{\rm e}^x},$$ 于是方程 $$\dfrac{\sin x-\cos x}{{\rm e}^x}=m$$ 有两个变号零点．记左侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{2\cos x}{{\rm e}^x},$$ 于是 $$\begin{array} {c|ccccccc}\hline x&0&\left(0,\dfrac{\pi}2\right)&\dfrac{\pi}2&\left(\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}2\right)&\dfrac{3\pi}2&\left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right)&2\pi\\ \hline g'(x)&&+&0&-&0&+&\\ \hline g(x)&-1&\nearrow&{\rm e}^{-\frac{\pi}2}&\searrow&{\rm e}^{-\frac {5\pi}2}&\nearrow&-{\rm e}^{-2\pi}\\ \hline\end{array}$$ 因此实数 $m$ 的取值范围是 $\left[-{\rm e}^{-2\pi},{\rm e}^{-\frac{\pi}2}\right)$．